パートで雇用保険をかけてます。6月に契約更新ですがお店がなくなるので契約をしてもらえません。
それは会社都合で退社ですぐに失業保険をもらえるのでしょうか？チェーン店で他にもお店はあるので自分の能力不足という事でしょうか？自分都合になるのでしょうか？

店が無くなることでも他がありますので、更新については、あまり関係ありません。
３年以上か未満か、また、契約書の更新はどのようになってますか？
３年以上なら、更新を希望して更新されなければ、特定受給資格者です。

３年未満なら、期間満了に付き、給付制限はありません、安定所が言う、給付制限のない自己都合退職者に該当します。
３年未満の場合は、直の契約社員に限り、給付制限はありませんが、登録型の派遣社員の場合は、給付制限が付くことが大半です。

特定受給資格者について
私は現在同一派遣元で3年以上働いていますが、次回の契約の更新はないと先日派遣会社から言われました。
こういった場合の失業保険給付は特定需給資格者の範囲入るのでしょうか？
ハローワークの特定需給資格者の範囲の中にこうありました。

●解雇等により離職したもの
(7) 期間の定めのある労働契約の更新により3年以上 引き続き雇用されるに至った場合において当該労働契約が更新されないことと なったことにより離職した者

このなかに3か月契約（たまに1か月契約の月もありました）を3年以上更新してきた登録型派遣は含まれるのでしょうか？

この場合は該当します、契約の更新が継続して行われていれば、
ご指摘の項目に該当しますから特定受給資格者になれると思われます
ただこれは最終的に安定所の判断によるところになりますから安定所に確認してください

失業保険の初回認定日について教えて下さい。

先月、自己都合で退職しました。失業保険の手続きを今月４日にし、初回講習を20日に受けました。
初回認定日は来月の１日なんですが、初回認定日までにあと１回は就職活動しなければならないのですよね？そして、初回認定日から次の認定日の間に３回、次の認定日とその次の認定日の間にまた３回就職活動すればいいのですか？

講習会やしおりで確認したのですが、わからなくなってしまいました。

そのとおりです。
貴方の理解で正しいですよ。
ハローワークでは、就職活動しましたかと聞かれるので、はいと答えればＯＫです。なかには、どうやってと聞く方もいるので、ネットで応募していると答えれば問題ありません。
あとは、認定日にうっかりハローワークに行くのを忘れないように気をつけましょう！

体調が悪く会社を辞めようと思ってますが、少しでも長く失業保険をもらえる方法はありませんか？どなたか教えてください。

雇用保険の失業手当は、働ける状態であるけれど、なかなか就職先が見つから無いので、見つかるまで失業手当を受給しながら求職活動をしている人が受給できるのですが、
あなたがご病気等で、すぐ再就職先が見つかったとしてもすぐには働けない場合には、失業手当の受給は難しいと思われます。
それとも、ハローワークで運よく再就職先を斡旋された場合には働くおつもりなのでしょうか。

失業手当は、年齢や加入期間等で受給できる期間が異なります。
また、会社都合とか、特定受給資格者であれば、すぐに受給開始となります。
しかし長く受給されるには、加入期間で決められていますので、難しいかと思われます。

現職でも、医者の診断書等が提出出来、会社を休業できる場合には、健康保険組合から傷病手当金と言うものが受給できるのですがこちらは最長で１年半受給ができます。
どちらが良いでしょうか。
あなたのおからだの具合とか、Ｄｒの診断書とかさまざまな観点からお考えください。

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